¡Feliz Halloween matemático 2023!

Un año más la família Klein nos han mandado una postal de Halloween, con su sentido de humor que la caracteriza. La explicaremos un poco. Nuestra protagonista la pequeña Klein, se ha disfrazado de donut, aunque la vemos como una taza, ¿cómo es posible?, porque topológicamente hablando una taza es equivalente a un donut, como pueden ver en la imagen 1.

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Fig.1. Taza-donut.

Una taza vacía es una superfície con un agujero, como un donut, y como pueden se puede transformar de una forma a otra.

Pero volviendo a nuestra protagonista, la pequeña Klein (ver fig. 2).

Fig.2. Pequeña Klein.

¿Qué es exactamente una botella de Klein? No es fácil de explicarlo, ¿saben qué es una banda de Möbius?. Una banda de Möbius es una superfície con una sola cara y un solo borde, esta superfície se encuentra en la tercera dimensión, y no por arte de mágia, sino por arte de matemáticas, si sumamos dos bandas de Möebius generan una botella de Klein, que solo puede existir en la cuarta dimensión y en dimensiones superiores a cuatro, ya que la botella de Klein es una superfície que no tiene borde y solo tiene una cara, por lo tanto no puede intersectar con ella misma, pero en la tercera dimensión si intersecta, ya que le falta un grado más de libertad, que solo lo tiene en dimensiones superiores a la tercera.

Fig. 3. La suma de dos bandas de Moëbius genera una botella de Klein.

Como pueden ver las tazas que se encuentran en la parte inferior derecha son dos chstes topológicos que ayudan a descifrar la postal.

Fig. 4. Cielo basado en una fotografía «Time Lapse» pero manipulada de forma calidoscópica.

El cielo está basado en una fotografía de Matt Molloy, pero como este paisaje corresponde con la cuarta dimensión, que es donde vive nuestra pequeña Klein lo vemos como una imagen calidoscopia, ya que su espacio no es orientable.

Y por último su luna es una superfície de Boy, que es otra superfície no orientable.